高中数学第3章2.3两角和与差的正切函数课件北师大必修4

发布时间:2021-06-13 15:22:29

成才之路 ·数学 北师大版 ·必修4 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第三章 三角恒等变形 第三章 §2 两角和与差的三角函数 2.3 两角和与差的正切函数 1 课前自主预* 3 易错疑难辨析 2 课堂典例讲练 4 课时作业 课前自主预* 某电视塔建在一座高山上(如图),小明自 A点观测山顶C的仰角为45°,塔顶P点的仰角 为75°,AB=500米.需求电视塔顶距地面的 高度即PB,显然75°=45°+30°;如果能 找到tan75°与tan45°,tan30°的关系,PB便 容易求出!这就是本节所要研究的问题. 1.两角和的正切公式 tan(α+β)=______t_a_n_α_+__ta_n_β______ 2.两角差的正切公1-式tanαtanβ tanα-tanβ tan(α-β)=______1_+__ta_n_α_t_a_n_β_______(其中α≠kπ+ π 2 (k∈ Z),β≠kπ+π2(k∈Z),α±β≠kπ+π2(k∈Z)). 1.tan(-165°)的值是( ) A.2+ 3 B.2- 3 C.-2+ 3 D.-2- 3 [答案] B [解析] 原式=tan(-180°+15°) =tan15°=tan(45°-30°) =1t+an4ta5n°4-5°ttaann3300°°=2- 3. 2.已知α∈(π2,π),sinα=35,则tan(α+π4)等于( ) A.17 B.7 C.-17 D.-7 [答案] A [解析] ∵α∈(π2,π),sinα=35, ∴cosα=-45,tanα=-34. ∴tan(α+π4)=11-+ttaannαα=11- +3434=17. 3.tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan30°tan43°的值为( ) A.-1 B.1 C. 3 [答案] B D.- 3 [解析] 原式=tan17°·tan43°+tan30°(tan17°+tan43°)= tan17°tan43°+ 3 3 ·tan60°(1-tan17°tan43°)=tan17°tan43°+1- tan17°tan43°=1. 4.(2015·江苏,8)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β 的值为________. [答案] [解析] 3 tan β=tan(α+β-α)=1t+an?taαn+?αβ+?-β?ttaannαα=171+ -227= 3. 5.设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β) 的值为________. [答案] -3 [解析] 因为tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,所以 tanα+tanβ=3,tanα·tanβ=2,而tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanα·tanβ = 1-3 2=-3. 课堂典例讲练 公式的直接应用 已知sin(π+θ)=- 3 5 ,tanφ= 1 2 ,θ为第二象限 角,求tan(θ-φ)的值. [思路分析] 首先利用诱导公式求出sinθ,然后利用sin2θ +cos2θ=1,求出cosθ,进而求出tanθ,最后利用tan(θ-φ)= 1t+anθta-nθttaannφφ求解. [规范解答] ∵sin(π+θ)=-sinθ=-35,∴sinθ=35, 又∵θ 是第二象限角, ∴cosθ=- 1-sin2θ=-45, ∴tanθ=csoinsθθ=-34, 又 tanφ=12, ∴tan(θ-φ)=1t+anθta-nθttaannφφ=1+-???-34-34???12×12=-2. [规律总结] 该题属于给值求值题,解答此题的关键在于 先用Tα±β公式分析一下待求的问题需要什么,然后利用化归的 思想,把未知的向已知进行转化.解题过程中须多加注意角的 范围,必要时实行拆分角. 已知 α,β,γ 都是锐角,且 tanα=12,tanβ=15,tanγ=18, 求 α+β+γ [解析] 的值. 因为 tan(α+β)=1t-anαta+nαttaannββ=1-12+12×15 15=79, tan[(α+β)+γ]=1t-an?taαn+?αβ+?+β?ttaannγγ=1-79+79×18 18=1. 由已知可推得 γ<β<α, 又因为 1 0<tanα<2< 33, 所以 0<γ<β<α<π6,即 0<α+β+γ<π2. 故 α+β+γ=π4. 公式的逆用与变形应用 求值:(1)tan10°+tan50°+ 3tan10°tan50°; (2)1+3-3ttaann1155°°; (3)已知tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,求tan(α+π4). [思路分析] 注意到10°+50°=60°,而tan60°= 3 ,故联 想到tan(10°+50°)的展开形式,并变形可解决(1);在第(2)题中 可将 3 替换为tan60°,再解答;(3)注意到α+ π 4 =(α+β)-(β- π4),利用Tα-β即可解决. [规范解答] (1)∵tan(10°+50°) =1t-an1ta0n°1+0°ttaann5500°°= 3, ∴tan10°+tan50°= 3- 3tan10°tan50°. ∴tan10°+tan50°+ 3tan10°tan50°= 3. (2)1+3-3ttaann1155°°=1t+an6ta0n°6-0°ttaann1155°° =tan(60°-15°)=tan45°=1. (3)tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)] =1t+an?taαn+?αβ+?-β?ttaann??ββ--π4π4??=1+25-25×14 14=232. [规律总结] 对两角

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